F I B O N A C C I - Folgen

In einer Kaninchenpopulation bezeichne Jn die Anzahl der Jungtiere ( Paare ! ) und An die Anzahl der Alttiere ( Paare ) nach n Monaten. Jungtierpaare können sich noch nicht fortpflanzen, während Alttierpaare pro Monat ein Jungtierpaar zeugen. Jungtiere werden nach einem Monat zu Alttieren, kein Individuum stirbt in dem betrachteten Zeitraum.

Aufgaben zur Veranschaulichung der Anwendungsbreite der Fibonacci-Zahlen

Eine Treppe besitzt insgesamt 40 Stufen. Die erste Stufe ist auf jeden Fall zu betreten. Bei jedem weiteren Schritt kann optional jeweils eine Treppenstufe übersprungen werden. Wie viele Möglichkeiten der Treppenbegehung sind denkbar ? Deine Lösung Theorie	Eine Treppe besitzt insgesamt 25 Stufen. Die erste Stufe ist auf jeden Fall zu betreten. Bei jedem weiteren Schritt können optional jeweils bis zu 4 Stufen auf einmal genommen werden. Wie viele Möglichkeiten der Treppenbegehung sind denkbar ? Deine Lösung Theorie
Chairs in a row: The teacher's version Imagine we have n chairs in a row and a roomful of people. If you've ever been to a gathering where there are teachers present, you will know they always talk about their school/college (boring!). So we will insist that no two teachers should sit next to each other along a row of 26 seats and count how many ways we can seat people, if some are teachers (who cannot be next to each other) and some are not. Deine Lösung Theorie	Chairs in a row: The antisocial version English people can be very reserved sometimes and like not to bother people by sitting next to them if they can possibly help it. So this time we consider a row of n = 26 chairs, but this time insist that no one can sit next to anyone else. There may be no one in the row, or just one person, but whenever there are two people or more, they must always be seperated by at least one empty seat, so that no one sits next to anyone else. How many ways can people be seated ? Deine Lösung Theorie
Eine Münze wird n = 40 mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass "Kopf" höchstens k = 4 mal hintereinander auftritt ! Deine Lösung Theorie	Wie viele verschiedenen Wege kann eine Biene nehmen, wenn sie durch zwei Reihen sechseckiger Zellen kriecht. Die Reihen setzen sich nach rechts beliebig weit fort. Die Biene bewegt sich zu einer benachbarten Zelle immer nur nach rechts , rechts-oben oder rechts-unten, und will von ihrem derzeitigen Standort ( Siehe Skizze! ) in Zelle 36 gelangen. Deine Lösung Theorie

Einige der "zahllosen" Eigenschaften der F-Folge:

1)    F_n²   =   F_{n - 1}   *   F_{n + 1}   ± 1
        Das Quadrat einer F-Zahl unterscheidet sich um 1 vom Produkt der beiden benachbarten Zahlen ! Diese Tatsache spielt in o.a. Zerschneidungsparadoxon eine grundlegende Rolle.

2)        F_n²   +   F_n+1²   =   F_2n+1
        Die Summe der Quadrate zweier aufeinander folgender F_Zahlen ist stets F_2n+1

3)    Für je 4 aufeinander folgende F-Zahlen   A , B , C , D   gilt die Formel:      C²   -   B²   =   A * D

4)    Die Endziffern der Elemente der Fibonacci-Folge wiederholen sich mit einer Zykluslänge von 60. Die letzten zwei Ziffern wiederholen sich mit einem Zyklus der Länge 300. Der Zyklus für die letzten drei Stellen ist 1500, 15000 für vier Stellen, 150000 für die letzten fünf Stellen und so weiter.

5)     Jede dritte F-Zahl lässt sich ohne Rest durch 2 dividieren, jede vierte durch 3, jede fünfte durch 5, jede sechste durch 8 und so weiter ( Wobei die Teiler die Fibonacci-Zahlen in aufsteigender Folge sind ). Daraus folgt: Aufeinander folgende F-Zahlen sind stets teilerfremd !

6)     Die Summe der ersten 10 Zahlen einer verallgemeinerten Fibonacci-Folge ( F₁ und F₂ beliebig ! )   ist gleich dem 11-fachen der 7. Zahl !
Diese Tatsache findet bei folgendem Zauberkunststück Verwendung:   Der Zauberer fordert eine Person auf, zwei beliebige natürliche Zahlen seiner Wahl zu addieren. Er selbst wendet sich dabei ab. Auf dem Zettel des Mitspielers stehen jetzt 3 Zahlen untereinander. Die Summe der zweiten und dritten Zahl wird als vierte Zahl notiert .... Diese Vorgehensweise wird so lange wiederholt, bis 10 Zahlen untereinander stehen.
Nun dreht sich der Zauberer um, zieht einen Strich unter die 10 Zahlen und gibt ohne zu zögern deren Summe an.     ( Er multipliziert dabei die 7. Zahl mit 11 ! )