L_Geburtstag

Lösungsskizze ( Rudi hat Geburtstag)

Die Aufgabe lässt sich mit den Methoden der Aussagenlogik formal beantworten.

Theoretische Grundlagen:
Aussagenlogische Terme enthalten sogenannte Junktoren:
   ¬      ( Negation / Entspricht der sprachlichen Verneinung)
   ∧     ( Konjunktion / Entspricht dem sprachlichen UND)
   ∨     ( Disjunktion / Entspricht dem sprachlichen ODER, jedoch nicht dem ausschließlichen ODER !)
   →     ( Implikation / Entspricht dem sprachlichen WENN ... DANN)

Beispiel:
Der Term    ¬(A) → ( A ∨ C )     bedeutet umgangssprachlich: Wenn die Aussage A nicht wahr ist, dann gilt Aussage B oder C ( oder beides ).

Die Wahrheitstafeln für die Junktoren sehen wie folgt aus:

A	¬A
w	f
f	w

A	B	A ∧ B
w	w	w
w	f	f
f	w	f
f	f	f

A	B	A ∨ B
w	w	w
w	f	w
f	w	w
f	f	f

A	B	A → B
w	w	w
w	f	f
f	w	w
f	f	w

A	B	¬ A ∨ B
w	w	w
w	f	f
f	w	w
f	f	w

Beachte: Aus den Wahrheitstafeln entnimmt man die logische Äquivalenz der Aussagen A → B und ¬A ∨ B !

Einige Rechengesetze der Ereignisalgebra:

Kommutativgesetze	A ∨ B = B∨ A	A ∧ B = B ∧ A
Distributivgesetze	A ∨ ( B ∧ C ) = (A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C )	A ∧ ( B ∨ C ) = ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C )
Absorptionsgesetzegesetze	A ∨ ( B ∧ A ) = A	A ∧ ( B∨ A) = A
Gestze von de Morgan	¬( A ∨ B ) = ¬A ∧ ¬B	¬ ( A ∧ B ) = ¬A ∨ ¬B

Zurück zu Rudis Geburtstag:
Es herrschte Einigkeit bezüglich des folgenden Geburtstagsaxioms: Wenn man Geburtstag hat und vorher brav war, dann bekommt man auch Geschenke.
Aussagenlogisch bedeutet das: ( B ∧ b ) → G
( B ist genau dann wahr, wenn man Geburtstag hat / b ist genau dann wahr , wenn man brav war / G ist genau dan wahr, wenn man Geschenke bekommt )
Dieses Axiom lässt sich mit Hilfe von o.a. Rechengesetze wie folgt umformen:
( B ∧ b ) → G ist logisch äquivalent zu ¬( B ∧ b ) ∨ G ist logisch äquivalent zu ¬B ∨ ¬b ∨ G ! (**)

Wenn Rudis Behauptungen a) - h) sich tatsächlich aus dem Geburtstagsaxiom folgern lassen, so müssen sie logisch äquivalent zu (**) sein !
Es folgt die aussagenlogische Formulierung von Rudis Behauptungen und deren algebraische Umformung:

a	An keinem Tag ist es möglich, dass man Geburtstag hat, man brav war und keine Geschenke bekommt.	¬( B ∧ b ∧ ¬G )	Algebr. Umformung :	¬B ∨ ¬b ∨ G	Übereinstimmung mit dem Geburtstagsaxiom
b	War man brav und bekommt an einem Tag keine Geschenke, so kann es nicht der Geburtstag sein.	(b ∧ ¬G) → ¬B )	Algebr. Umformung :	¬b ∨ G ∨ ¬B	Übereinstimmung mit dem Geburtstagsaxiom
c	Wenn man brav war und an einem Tag Geschenke bekommt, so muss es der Geburtstag sein.	(b ∧ G) → B )	Algebr. Umformung :	¬b ∨ ¬G∨ B	Keine Übereinstimmung mit dem Geburtstagsaxiom
d	Wenn man an einem Geburtstag keine Geschenke bekommt, so war man nicht brav.	(B ∧ ¬G) → ¬b )	Algebr. Umformung :	¬B ∨ G ∨ ¬b	Übereinstimmung mit dem Geburtstagsaxiom
e	Für jeden Tag gilt mindestens eine der Aussagen: Es ist der Geburtstag oder man war nicht brav oder man bekommt Geschenke.	B ∨ ¬b V G	Algebr. Umformung :	B ∨ ¬b ∨ G	Keine Übereinstimmung mit dem Geburtstagsaxiom
f	Falls an einem Tag die Erwartung, dass man Geschenke bekommt, weil man brav war, nicht erfüllt wird, so kann es nicht der Geburtstag sein.	¬(b → G) → ¬B	Algebr. Umformung :	¬b ∨ G ∨ ¬B	Übereinstimmung mit dem Geburtstagsaxiom
g	Für jeden Tag gilt mindestens eine der Aussagen: Es ist nicht der Geburtstag, oder man war brav , oder man bekommt keine Geschenke.	¬B ∨ b ∨ ¬G	Algebr. Umformung :	¬B ∨ b ∨ ¬G	Keine Übereinstimmung mit dem Geburtstagsaxiom
h	Wenn man ein Geschenk erhält, dann stimmt es nicht, dass man keinen Geburtstag hat und brav war.	G → ¬(¬B ∧ b)	Algebr. Umformung :	¬G∨ B∨ ¬b	Keine Übereinstimmung mit dem Geburtstagsaxiom

Zurück zur Aufgabenstellung