Bei einer austarierten Waagschale ist die Summe der Gewichte in der linken und rechten Schale jeweils gleich groß.
Wie viele verschiedene Gewichte G kann man mit n Steinen insgesamt bilden?
Es gibt für jeden Stein drei Möglichkeiten: Entweder er liegt auf der linken oder der rechten oder auf keiner Waagschale. Bei n Steinen gibt es somit insgesamt G = 3n Möglichkeiten. Eine der Möglichkeiten ist, dass kein Stein auf den Schalen liegt. Damit würde man das Gewicht 0 erzeugen, was im Sinne der Aufgabenstellung nicht relevant ist. Aus Symmetriegründen ist die Hälfte der verbleibenden 3n - 1 Steinen ebenfalls überflüssig. ( Das Vertauschen der Waagschaleninhalte erzeugt kein neues Gewicht ! )
Mit insgesamt n Steinen kann man somit G = ( 3n - 1 ) / 2 verschiedene Gewichte realisieren.
G = ( 3n - 1 ) / 2 → n = [ ln(2G + 1)/ln(3) ]
Ergibt der Bruch auf der rechten Seite keine natürliche Zahl, so ist das Ergebnis aufzurunden !
In der vorliegenden Aufgabe soll man mit den Gewichtssteinen alle ganzzahligen Gewichte bis zu 10000 Kilogramm wägen können. Eingesetzt in o.a. Gleichung ergibt sich ein Wert der knapp über 9 liegt.
Man benötigt somit 10 Gewichtssteine !
Welches Gewicht müssen die Steine besitzen ?
Der erste Stein besitzt das Gewicht F1 = 30 = 1 Kilogramm ( Damit lässt sich natürlich nur ein Gewicht bestimmen )
Der zweite Stein besitzt das Gewicht F2 = 31 = 3 Kilogramm ( Damit lassen sich durch Abziehen, Weglassen und Hinzufügen des ersten Steines 31 = 3 weitere Gewichte bilden: 2 = 3 - 1 ; 3 = 3 ; 4 = 3 + 1 )
Der dritte Stein besitzt das Gewicht F3 = 32 = 9 Kilogramm Damit lassen sich durch Abziehen, Weglassen und Hinzufügen der beiden ersten Steines 32 = 9 weitere Gewichte bilden:
Der n-te Stein besitzt das Gewicht Fn = 3n-1 Kilogramm. Damit lassen sich durch Abziehen, Weglassen und Hinzufügen der bereits vorhandenen Steine 3n-1 weitere Gewichte bilden!
5 = 9 - 3 - 1 6 = 9 - 3 7 = 9 - 3 + 1 8 = 9 - 1 9 = 9 10 = 9 + 1 11 = 9 + 3 - 1 12 = 9 + 3 13 = 9 + 3 + 1