Lösungsskizze zur Aufgabe


7-Eleven



Zur Erinnerung:  Multiplikation und Summation der Preise für die 4 Artikel a,b,c und d liefern ein identisches Ergebnis: 7,11 Euro

Gesucht ist somit der Preis von 4 verschiedenen Artikeln, oder - mathematisch formuliert - die Lösungsmenge folgenden Gleichungssystems:

I)   a * b * c * d = 7,11
II)  a + b + c + d = 7,11

Diese Gleichungssystem ist eindeutig unterdeterminiert. Sollte eine eindeutige Lösung existieren - wovon im vorliegenden Fall auszugehen ist - dann ist auch beim mathematisch versierte Rätselfreund in jedem Falle systematisches Raten angesagt.
Würde es sich bei den Variablen a, b, c und d um natürliche Zahlen handeln, dann ließe sich der Fundamentalsatz der Arithmetik zur Lösungsfindung heranziehen! Der Satz besagt, dass jede natürliche Zahl in eindeutiger Weise als Produkt von Prmzahlen darstellbar ist.
Bei a, b, c, d handelt es sich jeweils um reelle Zahlen mit 2 Nachkommastellen. bUm auf den Fundamentalsatz zurückgreifen zu können werden folgende Variablen definiert:
A = 100a       ;       B = 100b       ;       C = 100c       ;       D = 100d      
 Damit lässt sich die erste Zeile des Gleichungssystems wie folgt umschreiben:     A * B * C * d = 100a * 100b * 100c * 100d = 100 * 100 *100 * 100 * ( a*b*c*d ) = 711 000 000
Für die Primzahlzerlegung gilt: 711 000 000 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 79 = 26   * 32   * 56  *  79

Unter Verwendung von A, B, C ,D  lautet die zweite Gleichung:
II)   100a + 100b + 100c + 100d = A + B + C + D =  711

Die natürlichen Zahlen A, B, C, D   müssen nun aus Teilprodukten des roten Terms zusammengebastelt werden! Wem das zu mühsam wescheint, der schreibe ein Computerprogramm!
Wir unternehmen einen Versuch:     Sei     A = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 64
                                                                B = 3 * 3 = 9
                                                                C = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 15625
                                                                D = 79

                                                                Dann wäre   A + B + C + D = 15777 >> 711                 Dieser Versuch ging schon mal gründlich schief.

Systematisches Probieren liefert schließlich folgendes Ergebnis:
A = 2 * 2 * 79 = 317                  -->        a = 3,16
B = 2 * 3 * 5 * 5 = 150               -->       b= 1,50
C = 5 * 5 * 5 = 125                   -->        c = 1,25
D = 2 * 2* 2 * 3 * 5 = 120         -->       d = 1,20




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