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Lösungsskizze zum Würfelproblem

Ein Würfel wird n-mal geworfen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten maximal k Sechsen in Folge auf ?

Notiert man die gewürfelten Zahlen der Reihe nach, so erhält man einen String S der Form :    S = "521335.....162"
Im Hinblick auf die Fragestellung kann S folgende Zustände aufweisen:
    S(0): Am Stringende befindet sich keine Sechs
    S(1): Am Stringende befindet sich eine Sechs
    S(2): Am Stringende befinden sich zwei Sechsen
            ............
            ............
    S(k): Am Stringende befinden sich k Sechsen
    S(k + 1): Am Stringende befinden sich (k + 1) Sechsen

Die folgende Matrix ÜM¹ ( Übergangsmatrix1 ) enthält die Übergangswahrscheinlichkeiten für die diversen Zustände.

ÜM¹	S(0)	S(1)	S(2)	S(3)	S(4)	...............	S(k)	S(k+1)
S(0)	5/6	1/6	0	0	0	...............	0	0
S(1)	5/6	0	1/6	0	0	...............	0	0
S(2)	5/6	0	0	1/6	0	...............	0	0
S(3)	5/6	0	0	0	1/6	...............	0	0
........	......	......	......	......	.....	...............	.....	.....
........	......	......	......	......	.....	...............	.....	.....
S(k)	5/6	0	0	0	0	...............	0	1/6
S(k+1)	0	0	0	0	0	...............	0	1

Erhebt man die Übergangsmatrix in die n-te Potenz ( Es wird insgesamt n-mal gewürfelt ! ), so erhält man die Matrix ÜMⁿ mit den Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den einzelnen Zuständen nach n Würfen.
ÜMⁿ[0][k+1] gibt somit die Wahrscheinlichkeit P an, mit der nach n Würfen erstmals k+1 Sechsen hintereinander gewürfelt wurden.
Gefragt ist jedoch nach der Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses !

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit W ergibt sich somit: W = 1 - ÜMⁿ[0][k+1]

Ein Beispiel:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim 30-maligen Würfeln die Sechs höchstens 2-mal hintereinander gewürfelt wird ?

ÜM¹	S(0)	S(1)	S(2)	S(3)
S(0)	5/6	1/6	0	0
S(1)	5/6	0	1/6	0
S(2)	5/6	0	0	1/6
S(3)	0	0	0	1

Die Berechnung von ÜM³⁰ überlässt man natürlich einem einschlägigen Computerprogramm.
Der Computer berechnet ÜM³⁰ zu:

ÜM³⁰ =

ÜM³⁰	S(0)	S(1)	S(2)	S(3)
S(0)	0.7493	0.1253	0.02097	0.1043
S(1)	0.7317	0.1224	0.02048	0.1253
S(2)	0.6268	0.1048	0.01754	0.2506
S(3)	0	0	0	1

Die Wahrscheinlichkeit, dass beim 30. Wurf erstmals der dritte Sechser in Folge erscheint ist somit gleich 10,43%.
Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit W ergibt sich somit zu:
W = 1 - 0.1043 = 0.8957