Anleitung zur Bewältigung des „richtigen Lebens“

Als sie sich kennenlernten, holte Egon seine neue Freundin selbstverständlich allabendlich von der Arbeit ab und sie schlenderten gemeinsam .......
Ein halbes Jahr später hatten die beiden einvernehmlich folgende Vereinbarung getroffen:

-     Treffpunkt U-Bahnstation zwischen 18⁰⁰ und 18¹⁵h.
-     Man wartet nötigenfalls 5 Minuten. Wenn der Partner bis dahin nicht erschienen ist, platzt das Date.

Lösungsskizze:

Die Variablen und Ereignisse:

Δ: Vereinbarte Zeitspanne in Sekunden ( Hier: Δ = 15 Minuten = 900 Sekunden )

t: Maximale Wartezeit in Sekunden ( Hier: t = 5 Minuten = 300 Sekunden )

i: Sekunde, in der sich die zuerst ankommende Person am Treffpunkt einfindet ( Hier : 0 ≤ i ≤ 900 )

A: Das Ereignis „Die zuerst ankommende Person findet sich in der i-ten Sekunde ein“.

B: Das Ereignis „Der Partner findet sich innerhalb der Zeit t nach Eintreffen der ersten Person ein“.

C: Das Ereignis „Der Partner findet sich innerhalb der bis zum Fristablauf verbleibenden Zeit ein“.

Angenommen, ER erscheint zuerst am Treffpunkt.

Das Pärchen trifft sich immer dann, wenn

a) Er in der i-ten Sekunde eintrifft ( Ereignis A ) und SIE innerhalb der nächsten t Sekunden ebenfalls erscheint ( Ereignis B ).

Für die Wahrscheinlichkeit eines Zusammentreffens ist somit : P(a) = P( A ^ B ) = P(A) * P(B)

Mit P(A) = 1 / (Δ + 1) und P(B) = ( t + 1) / (Δ + 1) →

( Wahrscheinlichkeit, dass ER in der i-ten Sekunde eintrifft und SIE innerhalb der nächsten t Sekunden ebenfalls auftaucht. )

Diese Formel ist jedoch nur für alle i ≤ ( Δ – t ) zutreffend! Trifft ER zu einem späteren Zeitpunkt ein, so bleiben IHR weniger als t Sekunden!

Für i ≤ ( Δ – t ) gilt somit:

b) Für ( Δ – t ) < i ≤ Δ gilt unverändert: P(A) = 1 / (Δ + 1) .

P(B) kann nicht mehr verwendet werden, da IHR nur noch ( Δ – i ) Sekunden bis zum Verstreichen der Frist bleiben.

Die Wahrscheinlichkeit für ein Zusammentreffen ergibt sich jetzt zu P(b) = P( A ^ C ) = P(A) * P(C) , wobei P(C) = (Δ – i + 1 ) / ( Δ + 1 ) gilt.

Somit :

Unter Berücksichtigung der Fälle a) und b) ergibt sich für die gesuchte Wahrscheinlichkeit eines Zusammentreffens: P = 2 ( P1 + P2 ).

Der Faktor 2 ergibt sich aus der Symmetrie der Problemstellung. SIE kann natürlich auch vor IHM am Treffpunkt erscheinen.

Aus der allgemeinen Formel wird mit

Δ = 900 Sekunden und t = 300 Sekunden im konkret vorliegendem Falle

Fragestellung: Welche maximale Wartezeit t gewährleistet mit mindestens 90%-iger Sicherheit ein Zusammentreffen ?

Mit P = 0.9 , Δ = 900 und wird die allgemeine Formel zu

→

Somit: t = 616,1639 [ Sekunden ] ≈  10,27 Minuten

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